Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是且f（x）+f（2-x）=0，，當(dāng)時(shí)，f（x）=3^x．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間Z）上的解析式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得當(dāng)x∈時(shí)，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由得，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函數(shù)．（5分）
（2）當(dāng)x∈時(shí)，，
∴f（1-x）=3^1-x． （7分）
而，
∴f（x）=3^x-1． （9分）
當(dāng)x∈Z）時(shí)，，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1． （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即為x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0． （13分）
令g（x）=x²-（k+1）x+1，對(duì)稱軸為，
因此函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞增． （15分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/271812.png' />，又k為正整數(shù)，
所以，因此x²-（k+1）x+1＞0在上恒成立，（17分）
因此不存在正整數(shù)k使不等式有解． （18分）
分析：（1）由已知中，可得，進(jìn)而結(jié)合f（x）+f（2-x）=0，可得f（x）+f（-x）=0，結(jié)合奇函數(shù)的定義，可得答案．
（2）由已知中當(dāng)時(shí)，f（x）=3^x．結(jié)合（1）中結(jié)論，可得f（x）在區(qū)間Z）上的解析式；
（3）由（2）的結(jié)論及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，我依次為可將不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k轉(zhuǎn)化為二次不等式的形式，進(jìn)而分析出對(duì)應(yīng)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵由已知條件得到f（x）+f（-x）=0，（2）的關(guān)鍵是由已知判斷出f（x）=f（x-2k），（3）的關(guān)鍵是根據(jù)（2）的結(jié)論構(gòu)造關(guān)于k的不等式．