11．平面凸四邊形ABCD，AB=2，BC=3，CD=4，AD=5，則此四邊形的最大面積為$2\sqrt{30}$．

分析 連接BD，在△ABD和△BCD中分別由余弦定理可得5cosA-6cosC=1，由面積可得5sinA+6sinC=S，將2式子平方后相加解三角函數(shù)的值域可得S的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：連接BD，在△ABD和△BCD中分別應(yīng)用余弦定理，
可得：BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA=BC2+CD2-2BC•CD•cosC，
整理有：5cosA-6cosC=1…①?，
四邊形ABCD的面積：$S={S_{△ABD}}+{S_{△BCD}}=\frac{1}{2}AB•AD•sinA+\frac{1}{2}BC•CD•sinC=5sinA+6sinC$，…②?
?①式②?式平方相加得：S2+1=25-60cos（A+C）+36，
可得：S2=60-60cos（A+C）≤120，
當A+C=π時，四邊形ABCD的面積S取到最大值為$2\sqrt{30}$．
故答案為：$2\sqrt{30}$．

點評 本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式以及不等式的性質(zhì)，屬中檔題．

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