18.如圖,圓O與離心率為3232的橢圓T:x2a2+y22x2a2+y22=1(a>b>0)的一個切點(diǎn)為M(2,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓T與圓O的方程;
(2)過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1,l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A,C與點(diǎn)B,D(均不重合)
①若MBMBMDMD=3MAMAMCMC,求l1與l2的方程;
②若AB與CD相交于點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P在定直線上.

分析 (1)由圓O與離心率為3232的橢圓T的一個切點(diǎn)為M(2,0),列出方程組求出a,b,c,由此能求出橢圓T的方程和圓O的方程.
(2)①設(shè)l1:y=k(x-2),由{y=kx2x2+4y2=4,解得點(diǎn)A(8k221+4k2,4k1+4k2),由{y=kx2x2+y2=4,解得點(diǎn)C(2k221+k24k1+k2),把A、C坐標(biāo)中的k換成-1k,得B、D,由此利用MBMD=3MAMC,求出k2=2,由此能求出l1的方程和l2的方程..
②求出直線AB的方程和直線CD的方程,由此能證明AB與CD的交點(diǎn)P在定直線x=-2上.

解答 解:(1)∵圓O與離心率為32的橢圓T:x2a2+y22=1(a>b>0)的一個切點(diǎn)為M(2,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
{ca=32a=2a2=2+c2,解得a=2,b=1,c=3
∴橢圓T的方程為x24+y2=1,
圓O的方程為x2+y2=4.
(2)①∵過點(diǎn)M(2,0)引兩條互相垂直的直線l1,l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A,C與點(diǎn)B,D(均不重合),
∴設(shè)l1:y=k(x-2),由{y=kx2x2+4y2=4,解得點(diǎn)A(8k221+4k2,4k1+4k2),
{y=kx2x2+y2=4,解得點(diǎn)C(2k221+k24k1+k2),
把A、C坐標(biāo)中的k換成-1k,得B(82k2k2+44kk2+4),D(22k21+k2,4k1+k2),
MBMD=3MAMC,∴k2k2+4=31+4k2,解得k2=2,
∴l(xiāng)1的方程為:y=2x2,l2的方程為:y=22x2,或l1的方程為:y=-2(x-2),l2的方程為:y=22(x-2).
證明:②直線AB的方程為y+4k1+4k2=5k41k2(x-8k221+4k2),
令x=-2,得y=4k1k2
直線CD的方程為y=2k1k2x,令x=-2,得y=4k1k2
∴AB與CD的交點(diǎn)P(-2,4k1k2)在定直線x=-2上.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程、圓的方程和直線方程的求法,考查點(diǎn)P在定直線上的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓、圓、直線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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