Question

18．如圖，圓O與離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個切點(diǎn)為M（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l₁，l₂與兩曲線分別交于點(diǎn)A，C與點(diǎn)B，D（均不重合）
①若$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MD}$=3$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MC}$，求l₁與l₂的方程；
②若AB與CD相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線上．

Answer 1

分析 （1）由圓O與離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓T的一個切點(diǎn)為M（2，0），列出方程組求出a，b，c，由此能求出橢圓T的方程和圓O的方程．
（2）①設(shè)l₁：y=k（x-2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得點(diǎn)A（$\frac{8{k}^{2}-2}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得點(diǎn)C（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}，\frac{-4k}{1+{k}^{2}}$），把A、C坐標(biāo)中的k換成-$\frac{1}{k}$，得B、D，由此利用$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MD}$=3$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MC}$，求出k²=2，由此能求出l₁的方程和l₂的方程．．
②求出直線AB的方程和直線CD的方程，由此能證明AB與CD的交點(diǎn)P在定直線x=-2上．

解答 解：（1）∵圓O與離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個切點(diǎn)為M（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{a=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓T的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
圓O的方程為x²+y²=4．
（2）①∵過點(diǎn)M（2，0）引兩條互相垂直的直線l₁，l₂與兩曲線分別交于點(diǎn)A，C與點(diǎn)B，D（均不重合），
∴設(shè)l₁：y=k（x-2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得點(diǎn)A（$\frac{8{k}^{2}-2}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得點(diǎn)C（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}，\frac{-4k}{1+{k}^{2}}$），
把A、C坐標(biāo)中的k換成-$\frac{1}{k}$，得B（$\frac{8-2{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，$\frac{4k}{{k}^{2}+4}$），D（$\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$），
∵$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MD}$=3$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MC}$，∴$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$=$\frac{3}{1+4{k}^{2}}$，解得k²=2，
∴l(xiāng)₁的方程為：$y=\sqrt{2}（x-2）$，l₂的方程為：$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x-2）$，或l₁的方程為：y=-$\sqrt{2}$（x-2），l₂的方程為：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-2）．
證明：②直線AB的方程為y+$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{5k}{4（1-{k}^{2}）}$（x-$\frac{8{k}^{2}-2}{1+4{k}^{2}}$），
令x=-2，得y=$\frac{-4k}{1-{k}^{2}}$．
直線CD的方程為y=$\frac{2k}{1-{k}^{2}}x$，令x=-2，得y=$\frac{-4k}{1-{k}^{2}}$．
∴AB與CD的交點(diǎn)P（-2，$\frac{-4k}{1-{k}^{2}}$）在定直線x=-2上．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程、圓的方程和直線方程的求法，考查點(diǎn)P在定直線上的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、圓、直線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．