Question

函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象過(guò)點(diǎn)M（1，4），在點(diǎn)M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（m-1，m+1）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象過(guò)點(diǎn)M（1，4），在點(diǎn)M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直，建立方程組，這樣可以求出a，b的值；
（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（m-1，m+1）上單調(diào)遞增，可建立不等關(guān)系，這樣就可以求實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²，∴f'（x）=3ax²+2bx
由已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象過(guò)點(diǎn)M（1，4），在點(diǎn)M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直
可得

f(1)=4 f′(1)=9

即

a+b=4 3a+2b=9

解得a=1，b=3…（6分）
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²
∴f'（x）=3x²+6x=3x（x+2）
由f'（x）＞0，解得x＜-2或x＞0，∴f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）上單調(diào)遞增…（9分）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（m-1，m+1）上單調(diào)遞增，
∴m+1≤-2或m-1≥0，即m≤-3或m≥1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-3或m≥1，…（13分）

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，依此可以解決切線問(wèn)題，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，這個(gè)區(qū)間是函數(shù)增區(qū)間的子區(qū)間，要牢牢記�。�