Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左、右焦點，以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過右焦點F₂的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，且直線l與x軸不重合，若點P在y軸上，|PM|=|PN|，求點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切，列出方程組，求出a，b，能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）∵當直線l的斜率不存在時，滿足條件的點P的縱坐標為0，當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），與橢圓聯(lián)立，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式、直線方程，結(jié)合已知條件能求出點P的縱坐標的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左、右焦點，
以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）∵過右焦點F₂（1，0）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，且直線l與x軸不重合
∴當直線l的斜率不存在時，滿足條件的點P的縱坐標為0，
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=8k²+8＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
設(shè)MN的中點為Q，則x_Q=$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{Q}=k（{x}_{Q}-1）=-\frac{k}{2{k}^{2}+1}$，
∴Q（$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，-$\frac{k}{2{k}^{2}+1}$），
由題意知k≠0，
又直線MN的垂直平分線的方程為$y+\frac{k}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}（x-\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）$，
令x=0，解得${y}_{P}=\frac{k}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{1}{2k+\frac{1}{k}}$，
當k＞0時，∵2k+$\frac{1}{k}$≥$2\sqrt{2}$，∴0＜${y}_{P}≤\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
當k＜0時，∵2k+$\frac{1}{k}$≤-2$\sqrt{2}$，∴0＞${y}_{P}≥-\frac{1}{2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
綜上所述，點P的縱坐標的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點的縱坐標的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、中點坐標公式、直線方程、橢圓性質(zhì)的合理運用．