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設函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x-2)=-f(x)對一切x∈R都成立,又當x∈[-1,1]時,f(x)=x3,則下列五個命題:
①函數y=f(x)是以4為周期的周期函數;
②當x∈[1,3]時,f(x)=( x-2)3;
③直線x=±1是函數y=f(x)圖象的對稱軸;
④點(2,0)是函數y=f(x)圖象的對稱中心;
⑤函數y=f(x)在點(,f())處的切線方程為3x-y-5=0.
其中正確的是    .(寫出所有正確命題的序號)
【答案】分析:①根據f(x-2)=-f(x)對一切x∈R都成立可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x);
②設x∈[1,3],則x-2∈[-1,1],根據x∈[-1,1]時,f(x)=x3,可得f(x-2)=( x-2)3,從而可得f(x)=-( x-2)3;
③∵函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x-2)=-f(x),可得f(x-2)=f(-x),從而直線x=-1是函數y=f(x)圖象的對稱軸,由于函數為奇函數,所以直線x=1也是函數y=f(x)圖象的對稱軸;
④根據f(x-2)=-f(x),可得f(x-2)+f(x)=0;
⑤由②知f(x)=-( x-2)3,求出導函數,從而求出切線斜率與切點的坐標,從而可得切線方程.
解答:解:①,∵f(x-2)=-f(x)對一切x∈R都成立,∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函數y=f(x)是以4為周期的周期函數,故①正確;
②,設x∈[1,3],則x-2∈[-1,1],∵當x∈[-1,1]時,f(x)=x3,∴f(x-2)=( x-2)3,∵f(x-2)=-f(x)
∴-f(x)=( x-2)3,∴f(x)=-( x-2)3,故②不正確;
③,∵函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x-2)=-f(x),∴f(x-2)=f(-x),∴直線x=-1是函數y=f(x)圖象的對稱軸,由于函數為奇函數,所以直線x=1也是函數y=f(x)圖象的對稱軸,故③正確;
④,∵f(x-2)=-f(x),∴f(x-2)+f(x)=0,∴點(1,0)是函數y=f(x)圖象的對稱中心,故④不正確;
⑤,由②知f(x)=-( x-2)3,則f′(x)=-3( x-2)2,∴f′()=-3( -2)2=-,又f()=
∴函數y=f(x)在點(,f())處的切線方程為,即3x+4y-5=0,故⑤不正確.
綜上知,正確的是①③
故答案為:①③
點評:本題綜合考查函數的性質,考查函數的周期性,對稱性,考查曲線的切線,涉及知識點多,解題需要謹慎.
練習冊系列答案
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設函數y=f (x)是定義域為R的奇函數,且滿足f (x-2)=-f (x)對一切x∈R恒成立,當-1≤x≤1時,f (x)=x3,則下列四個命題:
①f(x)是以4為周期的周期函數.
②f(x)在[1,3]上的解析式為f (x)=(2-x)3
③f(x)在(
3
2
,f(
3
2
))
處的切線方程為3x+4y-5=0.
④f(x)的圖象的對稱軸中,有x=±1,其中正確的命題是( 。
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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①對正數x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);
②當x>1時,f(x)<0;
③f(3)=-1
(I)求f(1)和f(
19
)
的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范圍.

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設函數y=f(x)是定義在R上以1為周期的函數,若g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[2,3]上的值域為[-2,6],則函數g(x)在[-12,12]上的值域為( 。

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(1)求證:f(
xy
)=f(x)-f(y);
(2)若f(3)=1,f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范圍.

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①函數y=f(x)是以4為周期的周期函數;
②當x∈[1,3]時,f(x)=( x-2)3;
③直線x=±1是函數y=f(x)圖象的對稱軸;
④點(2,0)是函數y=f(x)圖象的對稱中心;
⑤函數y=f(x)在點(
3
2
,f(
3
2
))處的切線方程為3x-y-5=0.
其中正確的是
①③
①③
.(寫出所有正確命題的序號)

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