Question

（本小題滿分16分）

對于函數，如果是一個三角形的三邊長，那么也是一個三角形的三邊長，則稱函數為“保三角形函數”．

對于函數，如果是任意的非負實數，都有是一個三角形的三邊長，則稱函數為“恒三角形函數”．

（Ⅰ）判斷三個函數“（定義域均為）”中，哪些是“保三角形函數”？請說明理由；

（Ⅱ）若函數是“恒三角形函數”，試求實數的取值范圍；

（Ⅲ）如果函數是定義在上的周期函數，且值域也為，試證明：既不是“恒三角形函數”，也不是“保三角形函數”.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）k的取值范圍是

（Ⅲ）略

【解析】．解：（I）對于上是增函數，不妨設

對于上是增函數，不妨設

則

所以

故是“保三角形函數”   ………………4分

對于是一個三角形的三邊長，

但因為，

所以不是三角形的三邊長，故

不是“保三角形函數”  ………………6分

   （II）法一：

①當，適量題意  ………………8分

②當

所以

 …………9分

③當

所以

從而當

由

綜上所述，所求k的取值范圍是  ………………11分

法二：

，

①當適合題意；

②當上遞增，在上遞減，而

③當上遞增，而

且當

   （以下同法一，按此方法求解的，類似給分）

   （III）①因為，

使得顯然這樣的不是一個三角形的三邊長，

故不是“恒三角形函數”  ………………13分

②因為，令，

且

所以是一個三角形的三邊長，但因為

不是一個三角形的三邊長，

故也不是“保三角形函數”  ………………16分

   （說明：也可以先證不是“保三角形函數”，然后據此知也不是“恒三角形函數”）