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【題目】已知函數f(x)＝lnx＋2x－6。

(1)證明：函數f(x)在其定義域上是增函數；

(2)證明：函數f(x)有且只有一個零點；

(3)求這個零點所在的一個區(qū)間，使這個區(qū)間的長度不超過。

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）直接根據函數單調性的定義，即可證明；

（2）由零點判定定理，即可證明；

（3）由（2）知，該零點在區(qū)間(2,3)上，從而利用二分法確定區(qū)間即可.

(1)證明：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，設0<x1<x2，則lnx1<lnx2, 2x1<2x2.

∴ lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．

∴ f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

(2)證明：∵ f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，

∴f(2)·f(3)<0. ∴ f(x)在(2,3)上至少有一個零點，

又由(1)可知f(x)在(0，＋∞)上是增函數，因此函數至多有一個根，

從而函數f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點．

(3)解：由（2）可知f(x)的零點，

取，，

∴ 區(qū)間長度

取，，∴.

∴，區(qū)間長度，

∴即為符合條件的區(qū)間．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知集合.

（1）若，求的概率；

（2）若，求的概率.

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【題目】已知互不重合的直線,互不重合的平面,給出下列四個命題，正確命題的個數是

①若 ， ，，則

②若，，則

③若，，，則

④若 ， ，則//

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

(1)若函數為上的奇函數，求實數a的值；

(2)當時，函數在為減函數，求實數a的取值范圍；

(3)是否存在實數()，使得 在閉區(qū)間上的最大值為2，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別為銳角△ABC三個內角A，B，C的對邊，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC （Ⅰ）求∠A的大��；
（Ⅱ）若f（x）= sin cos +cos2 ，求f（B）的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，函數在上是單調遞增函數，則的取值范圍是______.

【答案】

【解析】∵，

∴，

又函數在單調遞增，

∴在上恒成立，

即在上恒成立。

又當時， ，

∴。

又，

∴。

故實數的取值范圍是。

答案：

點睛：對于導函數和函數單調性的關系要分清以下結論：

（1）當時，若，則在區(qū)間D上單調遞增（減）；

（2）若函數在區(qū)間D上單調遞增（減），則在區(qū)間D上恒成立。即解題時可將函數單調性的問題轉化為的問題，但此時不要忘記等號。

【題型】填空題
【結束】
19

【題目】某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶.甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；�。何覜]有偷.根據以上條件，可以判斷偷珠寶的人是__________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右兩個焦點分別為，離心率，短軸長為2.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點為橢圓上的一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于點，的延長線與橢圓交于點，若面積為，求直線的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得，再由 橢圓的方程為；（Ⅱ）①當直線斜率不存在時，不妨取面積為 ，不符合題意. ②當直線斜率存在時，設直線， 由 得 ，再求點的直線的距離 點到直線的距離為面積為 ∴或 所求方程為或.

試題解析：

（Ⅰ）由題意得，∴，

∵，∴，

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）①當直線斜率不存在時，不妨取，

∴面積為 ，不符合題意.

②當直線斜率存在時，設直線，

由化簡得，

設，

∴ ，

∵點的直線的距離，

又是線段的中點，∴點到直線的距離為，

∴面積為 ，

∴，∴，∴，∴或，

∴直線的方程為或.

【題型】解答題
【結束】
25

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若，且，證明： .

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖放置的邊長為2的正三角形ABC沿x軸滾動，記滾動過程中頂點A的橫、縱坐標分別為和，且是在映射作用下的象，則下列說法中：

① 映射的值域是；

② 映射不是一個函數；

③ 映射是函數，且是偶函數；

④ 映射是函數，且單增區(qū)間為，

其中正確說法的序號是___________.

說明：“正三角形ABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點B為中心順時針旋轉，當頂點C落在x軸上時，再以頂點C為中心順時針旋轉，如此繼續(xù)．類似地，正三角形ABC可以沿x軸負方向滾動．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）

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