Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx．求
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx利用三角恒等變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用周期公式求周期；
（2）根據(jù)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)解析式，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，從中解出x的取值范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由x∈[0，

π

2

]得出2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]的取值范圍，然后再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出sin(2x+

π

6

)的取值范圍，即可得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值．

解答：解：f(x)=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1（4分）
（1）最小正周期T=

2π

2

=π；                                （6分）
（2）當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

k∈Z時(shí)，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．  （10分）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)max=f(

π

6

)=3，f(x)min=f(

π

2

)=0．               （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換公式，利用公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，熟記三角函數(shù)周期的求法，單調(diào)區(qū)間的求法及最值的求法，本題是高考中對(duì)三角函數(shù)知識(shí)考查的常見(jiàn)題型，一般出現(xiàn)在高考試卷的第十七題的位置，屬于中檔題．