Question

已知函數(shù)f（x）=

x

lnx

-ax（x＞0且x≠1）
（1）若f（x）在定義域上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若有x₁、x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）在定義域上為減函數(shù)，f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0，在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”等價于“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，求出f′（x）_max+a=

1

4

，故問題等價于：“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤

1

4

，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）在定義域上為減函數(shù)，
∴f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0，在（0，+∞）上恒成立，
即當(dāng)x∈（0，+∞）時，a≥

lnx-1

(lnx)2

=-（

1

lnx

-

1

2

）²+

1

4

即可，
∴a≥

1

4

；
（2）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”等價于
“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（1）得，當(dāng)x∈[e，e²]時，f′（x）_max=

1

4

-a，則f′（x）_max+a=

1

4

，
故問題等價于：“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤

1

4

．
當(dāng)a≥

1

4

時，f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，則f（x）_min=f（e²）=

e2

2

-ae2≤

1

4

．
∴a≥

1

2

-

1

4e2

．
a≤0，f′（x）≥0在[e，e²]恒成立，故f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
于是，f（x）_min=f（e）=e-ae≥e＞

1

4

，不合題意
0＜a＜

1

4

時，由f′（x）的單調(diào)性和值域知，存在唯一x₀∈（e，e²），使f′（x₀）=0，且滿足：
當(dāng)x∈（e，x₀）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（x₀，e²）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
∴f（x）_min=f（x₀），
∴a≥

1

lnx0

-

1

4x0

＞

1

lne

-

1

4e2

＞

1

4

，與0＜a＜

1

4

矛盾，
綜上，a≥

1

2

-

1

4e2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度大．