Question

4．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ACF；
（2）若AB=$\sqrt{2}$CE，在線段EO上是否存在點(diǎn)G，使得CG⊥平面BDE？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)以及中線性質(zhì)任意得到OF∥DE，利用線面平行的判定定理可證；
（2）取EO的中點(diǎn)G，連接CG，可證CG⊥EO，由EC⊥BD，AC⊥BD，可得平面ACE⊥平面BDE，從而利用面面垂直的性質(zhì)即可證明CG⊥平面BDE．

解答 （本題滿分為14分）證明：（1）連接OF由四邊形ABCD是正方形可知，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，又F為BE的中點(diǎn)，
所以O(shè)F∥DE．…（2分）
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
所以DE∥平面ACF．…（6分）
（2）在線段EO上存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE，
證明如下：取EO的中點(diǎn)G，連接CG，在四棱錐E-ABCD中，AB=$\sqrt{2}$CE，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=CE，
所以CG⊥EO．…（8分）
又由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
所以EC⊥BD．…（10分）
由四邊形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，
所以BD⊥平面ACE，而BD?平面BDE，…（12分）
所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，
因?yàn)镃G⊥EO，CG?平面ACE，
所以CG⊥平面BDE．…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了線面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)定理的條件及結(jié)論，屬于中檔題．