【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,底面,,,點為棱的中點,點分別為棱上的動點(與所在棱的端點不重合),且滿足.
(1)證明:平面平面;
(2)當三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)連接AC交BD于N,連接MN,證明MN∥PA,AC⊥MN得到AC⊥平面MBD,再根據(jù)EF∥AC得到證明.
(2)設BE=BF=x,由,得到E,F分別為棱AB,BC的中點時體積最大,以A為坐標原點,分別以AF,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,計算平面MEF和平面MEC的法向量,計算向量夾角得到答案.
(1)連接AC交BD于N,連接MN,
∵底面ABCD為正方形,∴AC⊥BD,AN=NC,又∵PM=MC,∴MN∥PA,
由PA⊥底面ABCD知,MN⊥底面ABCD,又AC底面ABCD,∴AC⊥MN,
又BD∩MN=N,BD,MN平面MBD,∴AC⊥平面MBD,
在△ABC中,∵BE=BF,BA=BC,∴,即EF∥AC,
∴EF⊥平面MBD,又EF平面PEF,∴平面PEF⊥平面MBD;
(2)設BE=BF=x,由題意,又PA=4,
∴,當x=2時,三棱錐F﹣PEC的體積最大.
即此時E,F分別為棱AB,BC的中點.
以A為坐標原點,分別以AF,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則C(,2,0),F(2,0,0),E(,,0),M(,1,2),
,,,
設,
取=1,得:,
設為平面MEC的一個法向量,則,
取=1,得:,則,
由圖知所求二面角為銳二面角,所以二面角的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,證明:;
(3)若,直線與曲線相切,證明:.
(參考數(shù)據(jù):,)
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【題目】如圖,有四座城市、、、,其中在的正東方向,且與相距,在的北偏東方向,且與相距;在的北偏東方向,且與相距,一架飛機從城市出發(fā)以的速度向城市飛行,飛行了,接到命令改變航向,飛向城市,此時飛機距離城市有( )
A.B.C.D.
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【題目】已知,分別為橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,且軸,的周長為6.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點的直線與橢圓交于,兩點,設為坐標原點,是否存在常數(shù),使得恒成立?請說明理由.
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【題目】給出下面幾種說法:
①相等向量的坐標相同;
②若向量滿足,則
③若,,,是不共線的四點,則“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件;
④的充要條件是且.
其中正確說法的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖所示,天花板上掛著3串玻璃球,射擊玻璃球規(guī)則:每次擊中1球,每串中下面球沒擊中,上面球不能擊中,則把這6個球全部擊中射擊方法數(shù)是( )
A.78B.60C.48D.36
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【題目】自出生之日起,人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化,變化由線為.根據(jù)心理學家的統(tǒng)計,人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段.以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日,這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.臨界日的前半期為高潮期,后半期為低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),已知小英的生日是2003年3月20日(每年按365天計算).
(1)請寫出小英的體力、情緒和智力節(jié)律曲線的函數(shù);
(2)試判斷小英在2019年4月22日三種節(jié)律各處于什么階段,當日小英是否適合參加某項體育競技比賽?
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