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16.已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n-3,n∈N*
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a1的值;
(2)當(dāng)a1=-3時(shí),求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若對(duì)任意的n∈N*,都有an2+an+12an+an+1≥5成立,求a1的取值范圍.

分析 (1)由an+1+an=4n-3,n∈N*,可得a2+a1=1,a3+a2=5,相減可得a3-a1=5-1=4,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,可得2d=4,解得d.
(2)由an+1+an=4n-3,an+2+an+1=4n+1,可得an+2-an=4,a2=4.可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差都為4.對(duì)n分類討論利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.
(3)由(2)可知:an=\left\{\begin{array}{l}{2n-2+{a}_{1},n為奇數(shù)}\\{2n-3-{a}_{1},n為偶數(shù)}\end{array}\right..當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=2n-2+a1,an+1=2n-1-a1,由\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}≥5成立,an+1+an=4n-3,可得:{a}_{1}^{2}-a1≥-4n2+16n-10,令f(n)=-4n2+16n-10,求出其最大值即可得出.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),同理可得.

解答 解:(1)∵an+1+an=4n-3,n∈N*,∴a2+a1=1,a3+a2=5,
∴a3-a1=5-1=4,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則2d=4,解得d=2.
∴2a1+2=1,解得a1=-\frac{1}{2}
(2)∵an+1+an=4n-3,an+2+an+1=4n+1,∴an+2-an=4,a2=4.
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差都為4.
∴a2k-1=-3+4(k-1)=4k-7;a2k=4+4(k-1)=4k.
∴an=\left\{\begin{array}{l}{2n-5,n為奇數(shù)}\\{2n,n為偶數(shù)}\end{array}\right.,
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(a1+a2)+…+(an-1+an)=-3+9+…+(4n-3)=\frac{\frac{n}{2}(-3+4n-3)}{2}=\frac{{2n}^{2}-3n}{2}
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Sn+1-an+1=\frac{2(n+1)^{2}-3(n+1)}{2}-2(n+1)=\frac{2{n}^{2}-3n-5}{2}
∴Sn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{n}^{2}-3n-5}{2},n為奇數(shù)}\\{\frac{2{n}^{2}-3n}{2},n為偶數(shù)}\end{array}\right.
(3)由(2)可知:an=\left\{\begin{array}{l}{2n-2+{a}_{1},n為奇數(shù)}\\{2n-3-{a}_{1},n為偶數(shù)}\end{array}\right.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=2n-2+a1,an+1=2n-1-a1
\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}≥5成立,an+1+an=4n-3,可得:{a}_{1}^{2}-a1≥-4n2+16n-10,
令f(n)=-4n2+16n-10=-4(n-2)2+6,當(dāng)n=1或3時(shí),[f(n)]max=2,∴{a}_{1}^{2}-a1≥2,解得a1≥2或a1≤-1.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=2n-3-a1,an+1=2n+a1,
\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}≥5成立,an+1+an=4n-3,可得:{a}_{1}^{2}+3a1≥-4n2+16n-12,
令g(n)=-4n2+16n-12=-4(n-2)2+4,當(dāng)n=2時(shí),[f(n)]max=4,∴{a}_{1}^{2}+3a1≥4,解得a1≥1或a1≤-4.
綜上所述可得:a1的取值范圍是(-∞,-4]∪[2,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“分組求和”方法、不等式的解法,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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