Question

2．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，都有2，a_n，S_n為等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項公式是b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，試比較{b_n}的前n項和T_n與$\frac{3}{4}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{n}=2{a}_{n}-2}\\{{S}_{n+1}=2{a}_{n+1}-2}\end{array}\right.$，兩式相減可以推知a_n=2a_n-1，結(jié)合等比數(shù)列的定義寫出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）中求得的結(jié)果代入b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，求出b_n，利用裂項相消法求出T_n．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{n}=2{a}_{n}-2}\\{{S}_{n+1}=2{a}_{n+1}-2}\end{array}\right.$，
故S_n+1-S_n-=a_n+1=2（a_n+1-a_n），
即a_n+1=2a_n，
當(dāng)n=1時，a₁=2a₁-2，則a₁=2．
故數(shù)列{a_n}是以2為首項，公比q=2的等邊數(shù)列，
所以a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ．
則b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

點評 考查等比數(shù)列求通項公式和等差、等比中項的概念及裂項相消法求數(shù)列的前項和S_n，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，考查運算能力，屬中檔題．