Question

16．已知函數(shù)y=a^x-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中m＞0，n＞0，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 9
• D． 13

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以求出A點(diǎn)，把A點(diǎn)代入一次函數(shù)y=mx+n，得出m+n=1，然后利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解．

解答 解：∵函數(shù)y=a^x-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，
可得A（1，1），
∵點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，
∴m+n=1，∵m，n＞0，
∴m+n=1，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥9（當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{1}{3}$時(shí)等號(hào)成立），
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為9．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查的均值不等式的性質(zhì)，把不等式和函數(shù)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行出題，是一種常見(jiàn)的題型．