Question

13．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁＞1，前n項(xiàng)之積為T_n，設(shè)T₁₀=T₂₀，
（1）當(dāng)n為何值時(shí)，T_n最大？
（2）是否存在自然數(shù)m，使得T_m=1？

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，且a₁＞1，由T₁₀=T₂₀，可得a₁₁a₁₂•…•a₂₀=1，可得：${a}_{1}^{2}{q}^{19}$=1．于是T_n=${a}_{1}^{n}$•q^{1+2+…+（n-1）}=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由T_n=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$，可知：當(dāng)n=20時(shí)，T₂₀=1．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，且a₁＞1，∵T₁₀=T₂₀，
∴a₁₁a₁₂•…•a₂₀=1，
∴${a}_{1}^{10}$q^10+11+…+19=${a}_{1}^{10}$q¹⁴⁵=1，
∴${a}_{1}^{2}{q}^{19}$=1．
∴T_n=${a}_{1}^{n}$•q^{1+2+…+（n-1）}=${a}_{1}^{n}{q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$．
可知：當(dāng)n=10時(shí)，指數(shù)$\frac{n（20-n）}{19}$取得最大值$\frac{100}{19}$，
∴當(dāng)n=10時(shí)，T_n最大．
（2）由T_n=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$，可知：當(dāng)n=20時(shí)，T₂₀=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．