Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x-sinx，x∈R．
（1）試求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（2）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），解不等式f′（x）＜0即可得到遞減區(qū)間；
（2）由（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可求得極值，再與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，最大者為最大值，最小者為最小值；

解答： 解：（1）f′（x）=

1

2

-cosx，
令f′（x）＜0，得cosx＜

1

2

，
∴2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（2kπ-

π

3

，2kπ+

π

3

），（k∈Z）；
（2）x∈[-π，π]時(shí)，由（1）知，x∈[-π，-

π

3

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（-

π

3

，

π

3

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，x∈（

π

3

，π]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）在x=-

π

3

時(shí)取得極大值，在x=

π

3

時(shí)且僅當(dāng)極小值，
f（-π）=-

π

2

，f（-

π

3

）=-

π

6

+

3

2

，f（

π

3

）=

π

6

-

3

2

，f（π）=

π

2

，
∵f（-

π

3

）＜f（π），f（-π）＜f（

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（π）=

π

2

，最小值為f（-π）=-

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，屬基礎(chǔ)題，正確理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解題關(guān)鍵．