Question

數(shù)列{a_n}滿足：?n∈N*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=1+log₂a_n，c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）先討論n=1的情況，當(dāng)n≥2時(shí)，利用前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系a_n=S_n-S_n-1求出通項(xiàng)．
（2）先求出b_n，再求出C_n，據(jù)c_n的特點(diǎn)：一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1
顯然，n=1時(shí)，適合上式
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ
（2）∵b_n=1+log₂a_n=1+n-1=n
∴c_n=n•2^n-1
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1①
 2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ=

1-2n

1-2

-n×2n
∴T_n=（n-1）2ⁿ+1

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，首先應(yīng)該求出數(shù)列的通項(xiàng)，判斷通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇合適的求和方法．