Question

函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面關(guān)于f（x）的判斷正確的是

 

．
①f（x）是周期函數(shù)；②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；④f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；⑤f（2）=f（0）；⑥(

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，0)是一個(gè)對稱中心．

Answer 1

分析：先由偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反可得③錯(cuò)，再由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x）周期為2判斷出①⑤對，以及④錯(cuò)；利用f（x+2）=f（x）=f（-x），可得②對．而f（1-a）=-f（-a）=-f（a）可以判斷出⑥對．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，+∞）上為偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，故f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；③錯(cuò)；
因?yàn)閒（x+1）=-f（x）?f（x+2）=-f（x+1）=f（x）．所以其周期T=2．①⑤對
∵f（x+2）=f（x）=f（-x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；②對
∵函數(shù)f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，T=2．∴f（x）在[1，2]上是增函數(shù)；④錯(cuò)
∵（a，b）關(guān)于（

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，0）的對稱點(diǎn)為（1-a，-b）．而f（x+1）=-f（x）?f（1-a）=-f（-a）=-f（a）=-b，即（a，b）也在函數(shù)f（x）上，可得⑥對
故答案為：①②⑤⑥

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及周期性和單調(diào)性的綜合，是對函數(shù)基本性質(zhì)的綜合考查，屬于基礎(chǔ)題，但也是易錯(cuò)題．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于⑥的判斷上，一般要證明函數(shù)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)中心對稱的話，其常用做法是：設(shè)出函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，證明這點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上即可．