Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，點D、E分別為AB、PC的中點．
（1）在AC上找一點M，使得PA∥面DEM；
（2）求證：PA⊥面PBC；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

（1）解：M為AC的中點時，PA∥面DEM．連接EM，DM

∵M為AC的中點，E為PC的中點
∴EM∥PA
∵EM?面DEM，PA?面DEM
∴PA∥面DEM；
（2）∵AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=60°，
∴PB=PC==
∴AB²=AP²+PB²，AC²=AP²+PC²，
∴AP⊥PB，AP⊥PC
∵PB∩PC=P
∴PA⊥面PBC；
（3）在△PBC中，PB=PC=，BC=2，
∴
∴=
分析：（1）M為AC的中點時，PA∥面DEM，利用三角形的中位線性質，證明EM∥PA，從而可證PA∥面DEM；
（2）由AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=60°，利用余弦定理求出PB=PC=，從而可得AP⊥PB，AP⊥PC，進而可證PA⊥面PBC；
（3）在△PBC中，PB=PC=，BC=2，從而可得△PBC的面積，進而可求體積．
點評：本題考查線面平行、線面垂直，考查三棱錐體積的計算，正確掌握線面平行、線面垂直的判定是關鍵．