Question

如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進．現在投擲一個質地均勻．每個面上標有一個數字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1．兩個2．兩個3一共六個數字．質點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現的數字是1，質點P前進一步（如由A到B）；當正方體上底面出現的數字是2，質點P前進兩步（如由A到C），當正方體上底面出現的數字是3，質點P前進三步（如由A到D）．在質點P轉一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．
（1）求點P恰好返回到A點的概率；
（2）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果中，用隨機變量S表示點P恰能返回到A點的投擲次數，求S的數學期望．

Answer 1

分析：（1）求點P恰好返回到A點的概率，首先我們要對回到A點的情況分類討論，由于回到原點最少需要兩次投擲，最多需要四次投擲，故我們可以分兩次、三次、四次，四種情況進行討論，計算出每種情況性質的概率，相加即得結果．
（2）由（1）的結論我們不難得到ξ的值分別等2，3，4時的概率，然后我們代入數學期望公式即可求解．

解答：解：（Ⅰ）投擲一次正方體玩具，上底面每個數字的出現都是等可能的，其概率為P1=

2

6

=

1

3

因為只投擲一次不可能返回到A點；
若投擲兩次點P就恰能返回到A點，
則上底面出現的兩個數字應依次為：
（1，3）．（3，1）．（2，2）三種結果，
其概率為P2=(

1

3

)2•3=

1

3

若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現的三個數字應依次為：
（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三種結果，其概率為P3=(

1

3

)3•3=

1

9

若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現的四個數字應依次為：（1，1，1，1）
其概率為P4=(

1

3

)4=

1

81

所以，點P恰好返回到A點的概率為P=P₂+P₃+P₄=

1

3

+

1

9

+

1

81

=

37

81

（Ⅱ）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果共有以上問題中的7種，
因為，P（ξ=2）=

3

7

，P（ξ=3）=

3

7

，P（ξ=4）=

1

7

所以，Eξ=2•

3

7

+3•

3

7

+4•

1

7

=

19

7

點評：解決等可能性事件的概率問題，關鍵是要弄清一次試驗的意義以及每個基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個事件的相互關系是解決問題的關鍵．古典概型要求所有結果出現的可能性都相等，強調所有結果中每一結果出現的概率都相同．同時（2）中概率、數學期望的計算也是高考的熱點．對于數學期望的計算則要熟練掌握運算方法和步驟．