Processing math: 42%
16.若數(shù)列An:a1,a2,…,an(n∈N*,n≥2)滿足a1=0,|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),則稱An為L數(shù)列.記S(An)=a1+a2+…+an
(1)若A5為L數(shù)列,且a5=0,試寫出S(A5)的所有可能值;
(2)若An為L數(shù)列,且an=0,求S(An)的最大值;
(3)對任意給定的正整數(shù)n(n≥2),是否存在L數(shù)列An,使得S(An)=0?若存在,寫出滿足條件的一個L數(shù)列An;若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)根據(jù)題意,a1=a5=0,a2=±1,a4=±1,再根據(jù)|ak+1-ak|=1求出a3=0或±2,可以得出符合題設的E數(shù)列A5;
(2)由于An為L數(shù)列,且a1=an=0,|ak+1-ak|=1,n必須是不小于3的奇數(shù),S(An)最大的An,利用等差數(shù)列前n項和公式,S(An)=k2,即可求得S(An)的最大值;
(3)令ck=ak+1-ak,分別求得a2,a3,a4,…,an,由S(An)=a1+a2+a3+…+an,求得S(An),由ck=±1,1-ck為偶數(shù),可得n=4m,或n=4m+1(m∈N*),分別求得L數(shù)列An,滿足S(An)=0的表達式.

解答 解:(1)滿足條件的L數(shù)列A5,及對應的S(A5)分別為:
( i) 0,1,2,1,0.S(A5)=4;( ii) 0,1,0,1,0.S(A5)=2;
( iii) 0,1,0,-1,0.S(A5)=0;( iv) 0,-1,-2,-1,0.S(A5)=-4;
( v) 0,-1,0,-1,0.S(A5)=-2;( v i) 0,-1,0,1,0.S(A5)=0.
因此,S(A5)的所有可能值為:-4,-2,0,2,4.…(5分)
(2)由于An為L數(shù)列,且a1=an=0,|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),
故n必須是不小于3的奇數(shù).…(7分)
于是使S(An)最大的An為:0,1,2,3,…,k-2,k-1,k,k-1,k-2,…,3,2,1,0.…(9分)
這里n=2k+1≥3(k、n∈N*),并且S(An)=2[1+2+3+…+(k-1)]+k=k2,
∴k=n12
因此,S(Anmax=(n122,(n為不小于3的奇數(shù)).…(11分)
(3)令ck=ak+1-ak(k=1,2,…,n-1),則ck=±1,于是由a1=0,
得a2=c1,
a3=a2+c2=c1+c2,
a4=a3+c3=c1+c2+c3

an=an-1+cn-1=c1+c2+…+cn-1,
故S(An)=a1+a2+a3+…+an,
=(n-1)c1+(n-2)c2+(n-3)c3+…+2cn-2+cn-1,
=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+(n-1)(c1-1)+(n-2)(c2-1)+(n-3)(c3-1)+…+2(cn-1-1)+(cn-1-1),
=nn12-[(n-1)(1-c1)+(n-2)(1-c2)+(n-3)(1-c3)+…+2(1-cn-2)+(1-cn-1].,
因ck=±1,故1-ck(k=1,2,…,n-1)為偶數(shù),
所以(n-1)(1-c1)+(n-2)(1-c2)+(n-3)(1-c3)+…+2(1-cn-2)+(1-cn-1)為偶數(shù).
于是要使S(An)=0,必須nn12為偶數(shù),
即n(n-1)為4的倍數(shù),亦即n=4m,或n=4m+1(m∈N*).…(14分)
( i)當n=4m(m∈N*)時,L數(shù)列An的項在滿足:a4k-1=a4k-3=0,a4k-2=1,a4k=-1(k=1,2,…,m)時,S(An)=0.…(16分)
( ii)當n=4m+1(m∈N*)時,L數(shù)列An的項在滿足:a4k-1=a4k-3=0,a4k-2=1,a4k=-1(k=1,2,…,m),a4m+1=0時S(An)=0.…(18分)

點評 本題考查新定義及理解,考查等差數(shù)列前n項和公式及數(shù)列的綜合運用,解題的關鍵在于對新定義的正確運用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.計算  i(2-i)值 為1+2i.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.(1)類比平面內(nèi)直角三角形ABC的勾股定理,試給出空間中四面體P-DEF性質(zhì)的猜想;
(2)證明第(1)問中得到的猜想.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.定義max{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn中的最大值.
已知數(shù)列an=1000n,bn=2000m,cn=1500p,其中n+m+p=200,m=kn,n,m,p,k∈N*.記dn=max{an,bn,cn}
(Ⅰ)求max{an,bn}
(Ⅱ)當k=2時,求dn的最小值;
(Ⅲ)?k∈N*,求dn的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.數(shù)列{an}是由1,2,3,…2016的一個排列構(gòu)成的數(shù)列,設任意m個相鄰的和構(gòu)成集合B,即B={x|x=ni=1an+i,n=0,1,2,…,2016-m}.
(Ⅰ)若m=8,求B中元素的最大值;
(Ⅱ)下列情況下,集合B能否為單元素集,若能,寫出一個對應的數(shù)列{an},若不能,說明理由.
①m=8,n=8k,k=0,1,2,…,251;
②m=3,n=3k,k=0,1,2,…,671.
(Ⅲ)對于數(shù)列{an},若m=8,記B紅元素的最大值為D,試求S的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

1.設A,B,C,D是半徑為4的球面上的四點,且滿足AB⊥AC,AD⊥AC,AB⊥AD,則S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是32.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.已知A是三角形的一個內(nèi)角,
(1)若tanA=2,求\frac{sin(π-A)+cos(-A)}{{sinA-sin(\frac{π}{2}+A)}}的值.
(2)若sinA+cosA=\frac{1}{5},判斷三角形的形狀.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AB=2,若該四棱錐的所有頂點都在體積為\frac{243π}{16}同一球面上,則PA=( �。�
A.3B.\frac{7}{2}C.2\sqrt{3}D.\frac{9}{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

13.若向量\vec a,\vec b滿足:|{\vec a}|=1,(\vec a+\vec b)⊥\vec a,(2\vec a+\vec b)⊥\vec b,則|\overrightarrow|=\sqrt{2}

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
闂備胶枪妤犲繘骞忛敓锟� 闂傚倸鍊搁崑濠囧箯閿燂拷