Question

13．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下四個式子的值都等于同一個常數(shù)．
①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°
③sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°
④sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°
（1）試從上述四個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)．
（2）根據（1）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣成三角恒等式，并證明你的結論．

Answer 1

分析 先利用歸納推理得出一般結論，再利用三角恒等變換進行證明．

解答 解：（1）∵以下4個式子等于同一個常數(shù)，①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°，
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°，
③sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°，
④sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°，
而由④可得sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=$\frac{3}{4}$，
故這個常數(shù)等于$\frac{3}{4}$．
（2）由（1）可得 sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$，
推廣可得sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=$\frac{3}{4}$．
證明：∵sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°）=sin²α+${（\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα）}^{2}$+sinα[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}sinα$]
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos² α+$\frac{1}{4}$sin²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin²α=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$，
∴sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$ 成立．

點評 本題主要考查歸納推理，三角恒等變換，屬于中檔題．