Question

設(shè)過點(diǎn)P（x，y）的直線分別與x軸和y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且．
（1）求點(diǎn)P的軌跡M的方程；
（2）過F（2，0）的直線與軌跡M交于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱題設(shè)知Q（-x，y），設(shè)A（a，0），B（0，b），由且，知，由此能求出點(diǎn)P的軌跡M的方程．
（2）設(shè)過F（2，0）的直線方程為y=kx-2k，聯(lián)立，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2），利用韋達(dá)定理能求出的取值范圍．
解答：解：（1）∵過點(diǎn)P（x，y）的直線分別與x軸和y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴Q（-x，y），設(shè)A（a，0），B（0，b），
∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），，
∵且，
∴，
解得點(diǎn)P的軌跡M的方程為．
（2）設(shè)過F（2，0）的直線方程為y=kx-2k，
聯(lián)立，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=，
=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∴=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2）
=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=（1+k²）（-+4）
=
=+，
∴當(dāng)k²→∞的最小值→；當(dāng)k=0時(shí)，的最大值為1．
∴的取值范圍是（，1]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查向量乘積人取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和向量知識(shí)的合理運(yùn)用．