Question

已知⊙F₁：（x+1）²+y²=

1

9

，⊙F₂：（x-1）²+y²=

121

9

，橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，存在以P為圓心的⊙P與⊙F₁外切，與⊙F₂內(nèi)切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₂作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)D，若

DA

=2

AF2

，

DB

=λ

BF2

，求λ的值．
（3）已知真命題：“如果點(diǎn)T（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，那么過(guò)點(diǎn)T的橢圓的切線(xiàn)方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．”利用上述結(jié)論，解答下面的問(wèn)題：
已知點(diǎn)Q是直線(xiàn)l：x+2y=8上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線(xiàn)QM、QN，M、N為切點(diǎn)，問(wèn)直線(xiàn)MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出⊙F₁、⊙F₂的圓心和半徑，設(shè)以P為圓心的⊙P的半徑為r，求出PF₁+PF₂=4，即為a=2，又c=1，由a，b，c的關(guān)系，求得b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂作斜率為k的直線(xiàn)方程為：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量的數(shù)乘的坐標(biāo)公式，求得A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得k，解方程求得B的橫坐標(biāo)，即可得到所求；
（3）運(yùn)用橢圓的切線(xiàn)方程，求出QM，QN的方程，再由Q是它們的交點(diǎn)，代入即可得到直線(xiàn)MN的方程，再由Q在直線(xiàn)l上，運(yùn)用直線(xiàn)系方程的結(jié)論，即可得到定點(diǎn)．

解答： 解：（1）⊙F₁：（x+1）²+y²=

1

9

的圓心為（-1，0），半徑為

1

3

．
⊙F₂：（x-1）²+y²=

121

9

的圓心為（1，0），半徑為

11

3

．
設(shè)以P為圓心的⊙P的半徑為r，
則由以P為圓心的⊙P與⊙F₁外切，與⊙F₂內(nèi)切，可得，
PF₁+PF₂=

1

3

+r+

11

3

-r=4，即有2a=4，即a=2，又c=1，
則b²=a²-c²=3，
則橢圓C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂作斜率為k的直線(xiàn)方程為：y=k（x-1），
設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（0，-k），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
則x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
由

DA

=2

AF2

，即有x₁=2（1-x₁），解得，x₁=

2

3

，
代入方程，可得k²=24，
即有x₁x₂=

28

33

，則x₂=

14

11

，
由于

DB

=λ

BF2

，則x₂=λ（1-x₂），即有λ=

x2

1-x2

=

14 11

1- 14 11

=-

14

3

；
（3）設(shè)Q（m，n），則m+2n=8，即有m=8-2n，
切點(diǎn)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
則

x3x

4

+

y3y

3

=1，

x4x

4

+

y4y

3

=1，
兩條切線(xiàn)QM、QN均過(guò)點(diǎn)Q，即有

x3m

4

+

y3n

3

=1，

x4m

4

+

y4n

3

=1，
則由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，則有直線(xiàn)MN的方程為：

mx

4

+

ny

3

=1．
即3mx+4ny-12=0，即3（8-2n）x+4ny-12=0，
即為（24x-12）+n（4y-6x）=0，
由24x-12=0，且4y-6x=0，解得，x=

1

2

，y=

3

4

．
即有直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)（

1

2

，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和方程，考查兩圓的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)乘的定義和坐標(biāo)表示，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查橢圓的切線(xiàn)方程，以及直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．