Question

已知函數(shù)f（x）=a²x³-ax²+，g（x）=-ax+1，其中a＞0．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有公共點，且在公共點處有相同的切線，試求實數(shù)a的值；
（2）在區(qū)間（0，]上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象的公共點為M（x₀，y₀），
由題意得：，即．
由①得a（ax₀²-2x₀+1）=0，
∵a＞0，且x₀≠0，
∴a=．③
由②得a²x₀³-ax₀²+ax₀-=0．④
把③代入④，得-+•x₀-=0，
化簡得x₀²-2x₀+1=0，解得x₀=1．
當x₀=1時，a==1，
于是，所求實數(shù)a的值為1．
（2）設F（x）=f（x）-g（x）=a²x³-ax²+ax-（x∈（0，]），
對F（x）求導，得F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）＞0（a＞0），
∴F（x）在（0，]上為增函數(shù)，則F（x）_max=F（）．
依題意，只需F（x）_max＞0，即a²×-a×+a×-＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+或a＜-3-（舍去）．
于是，所求實數(shù)a的取值范圍是（-3+，+∞）．
分析：（1）分別求出f（x）和g（x）的導函數(shù)，設出兩函數(shù)圖象的公共點M的坐標，由兩函數(shù)圖象在公共點處有相同的切線，把M的橫坐標代入兩導函數(shù)中求出的導函數(shù)值相等得到一個關系式，記作①，把M的橫坐標代入兩函數(shù)解析式中得到的函數(shù)值相等，記作②，把①化簡后解出a等于一個關系式，記作③，把②化簡后，記作④，把③代入④消去a得到關于點M橫坐標的方程，求出方程的解即可得到點M橫坐標的值，把橫坐標的值代入③即可求出a的值；
（2）設F（x）=f（x）-g（x），求出導函數(shù)，由x的范圍得到導函數(shù)值大雨0，即F（x）為增函數(shù)，根據(jù)閉區(qū)間x的范圍，求出F（x）的最大值，根據(jù)最大值大于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性，會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值，是一道中檔題．