Question

1．直角三角形ABC中，三內(nèi)角成等差數(shù)列，最短邊的長(zhǎng)度為1，P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且∠APB=∠APC=∠CPB=120°，則PA+PB+PC=（　　）

• A． $\sqrt{11}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由條件和等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出各個(gè)內(nèi)角、邊，由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、∠ACB=60°，可得∠ACP=∠PBC，判定兩個(gè)三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算求出PA、PC的長(zhǎng)，由勾股定理得出答案．

解答 解：∵直角三角形ABC，三內(nèi)角成等差數(shù)列，設(shè)B=90，A＞C，
∴2A=B+C，又A+B+C=180°，解得A=60°，C=30°，
∵最短邊AB=1，∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2，
延長(zhǎng)BP到B′，在BB'上取點(diǎn)E，使PE=PC，EB′=AP，
∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，
∴△PCE是正三角形，∴∠CEB'=120°=∠APC，
∵AP=EB′，PC=EC，∴△ACP≌△B′CE，
∴∠PCA=∠B′CE，AC=B′C=2，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP，∴∠ACB′=∠PCE=60°，
∵∠ACB=30°，∴∠BCB′=90°，
∵PE=PC，AP=B′E，AC=2AB=2，BC=$\sqrt{3}$，
∴PA+PB+PC=B′E+PB+PE=BB′=$\sqrt{B{C}^{2}+CB{′}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．