Question

若函數(shù)f（x）=（a-3）x-ax³在區(qū)間[-1，1]上的最小值等于-3，則實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   （-2，+∞）
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   （-2，12]

Answer 1

B
分析：由函數(shù)f（x）=（a-3）x-ax³在區(qū)間[-1，1]上的最小值等于-3，由函數(shù)解析式先求其導函數(shù)，進而可判斷函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，即可
解答：由函數(shù)f（x）=（a-3）x-ax³ 求導函數(shù)為：f^′（x）=-3ax²+（a-3），
①當a=0時，f（x）=-3x，此時函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為：f（1）=-3，符合題意，
所以a=0符合題意；
②當a≠0時，f^‘（x）=0，即 3ax²=a-3
（I）當0＜a≤3時，f^′（x）=-3ax²+（a-3）為開口向下的二次函數(shù)，且△=12a（a-3）≤0，f^‘（x）≤0恒成立
所以函數(shù)f（x）在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)的最小值為f（1）=-3，此時符合題意；
（II）當a＜0或a＞3時，f^′（x）=0，即 3ax²=a-3
解得：，
①當，即a，
函數(shù)f（x）在[-1，-]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以此時函數(shù)在定義域的最小值為f（-1）=-3或f（-）= 令
解得：a∈φ
，
即時，函數(shù)在定義域上始終單調(diào)遞減，則函數(shù)在定義域上的最小值為f（1）=-3，符合題意．
綜上所述：當即 時符合題意．
故選B
點評：此題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了學生在函數(shù)字母的不等式分類討論思想及學生的計算能力．