Question

13．為監(jiān)測全市小學(xué)生身體形態(tài)生理機(jī)能的指標(biāo)情況，體檢中心從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)分成如下5個組：[100，110），[110，120），…，[140，150），并繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．
（Ⅰ）若該校共有學(xué)生1000名，試估計(jì)身高在[100，130）之間的人數(shù)；
（Ⅱ）在抽取的100名學(xué)生中，按分層抽樣的方法從身高為：[100，110），[130，140），[140，150）3個組的學(xué)生中選取7人參加一項(xiàng)身體機(jī)能測試活動，并從這7人中任意抽取2人進(jìn)行定期跟蹤測試，求這2人取自不同組的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布圖中小矩形面積之和為1的性質(zhì)，先求出a=0.030，從而求出身高在[110，130）之間的頻率，由此能求出身高在[110，130）之間的人數(shù)．
（Ⅱ）該學(xué)校學(xué)生身高在[100，110），[130，140），[140，150）內(nèi)的頻率分別是0.05，0.2，0.1，這三個組的人數(shù)分別為5人，20人，10人，共35人，這三個組分別為A組，B組，C組．從A組抽取人數(shù)1人，B組抽取4人，C組抽取2人，利用列舉法能求出任意抽取2人，這2人取自不同身高組的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由 （0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1，解得a=0.030．（1分）
所以身高在[110，130）之間的頻率為：（0.035+0.030）×10=0.65，
所以身高在[110，130）之間的人數(shù)為：0.65×100=65人．
（Ⅱ）估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高在[100，110），[130，140），[140，150）內(nèi)的頻率分別是0.05，0.2，0.1，
所以這三個組的人數(shù)分別為5人，20人，10人，共35人．（4分）
記這三個組分別為A組，B組，C組．
則A組抽取人數(shù)為$5×\frac{7}{35}=1，記為{A_1}$；
B組抽取人數(shù)為$20×\frac{7}{35}=4，記為{B_1}，{B_2}，{B_3}，{B_4}$；
C組抽取人數(shù)為$10×\frac{7}{35}=2，記為{C_1}，{C_2}$，（6分）
設(shè)“任意抽取2人，這2人取自不同身高組”為事件M，
則所有的基本事件空間為：
$\begin{array}{l}Ω=\{（{{A_1}，{B_1}}），（{{A_1}，{B_2}}），（{{A_1}，{B_3}}），（{{A_1}，B{\;}_4}），（{{A_1}，{C_1}}），（{{A_1}，{C_2}}），\\（{{B_1}，{B_2}}），（{{B_1}，{B_3}}），（{{B_1}，B{\;}_4}），（{{B_1}，{C_1}}），（{{B_1}，{C_2}}），（{{B_2}，{B_3}}），（{{B_2}，B{\;}_4}），\\（{{B_2}，{C_1}}），（{{B_2}，{C_2}}），（{{B_3}，B{\;}_4}），（{{B_3}，{C_1}}），（{{B_3}，{C_2}}），（{{B_4}，{C_1}}），（{{B_4}，{C_2}}），（{{C_1}，{C_2}}）\}\end{array}$
共21個元素，（8分）
事件M包含的基本事件有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₁，B₄），（A₁，C₁），（A₁，C₂），（B₁，C₁），（B₁，C₂），
（B₂，C₁），（B₂，C₂），（B₃，C₁），（B₃，C₂），（B₄，C₁），（B₄，C₂），共14個，（10分）
所以這2人取自不同組的概率$P（M）=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．