Question

已知命題P：函數f（x）=a^-x在定義域（-∞，+∞）上單調遞增； 命題Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數x恒成立．
（1）若P∨Q是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）已知函數f（x）=a^-x在定義域（-∞，+∞）上單調遞增，且m∈（-∞，+∞），寫出命題：“若m+1＞0，則f（m）+f（1）＞f（-m）+f（-1）”的逆命題．否命題．逆否命題，并分別判斷逆命題．否命題．逆否命題的真假（不要證明）．

Answer 1

考點：復合命題的真假,四種命題

專題：簡易邏輯

分析：（1）先化簡p，q，然后由P∨Q是真命題，則p真q真可得a的范圍，（2）根據定義寫出四種命題，并判斷真假即可．

解答： 解∵（1）命題P函數f（x）=a^-x在定義域上單調遞增；
∴0＜a＜1，
又∵命題Q不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數x恒成立；
∴a=2，
或

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，∴-2＜a＜2…（4分）
即-2＜a≤2…（5分）
∵P∨Q是真命題，∴a的取值范圍是-2＜a≤2…（6分）
（2）原命題：已知函數f（x）=a^-x在定義域（-∞，+∞）上單調遞增，且m∈（-∞，+∞），若m+1＞0，則f（m）+f（1）＞f（-m）+f（-1）
逆命題：已知函數f（x）=a^-x在定義域（-∞，+∞）上單調遞增，且m∈（-∞，+∞），若f（m）+f（1）＞f（-m）+f（-1），則m+1＞0
真命題…（8分）
否命題：已知函數f（x）=a^-x在定義域（-∞，+∞）上單調遞增，且m∈（-∞，+∞），若m+1≤0，則f（m）+f（1）≤f（-m）+f（-1）
真命題…（10分）
逆否命題：已知函數f（x）=a-^x在定義域（-∞，+∞）上單調遞增，且m∈（-∞，+∞），若f（m）+f（1）≤f（-m）+f（-1），則m+1≤0
真命題…．（12分）

點評：本題考查復合命題的真假判斷和四種命題，屬于基礎型題目，要注意對命題形式的把握．