Question

函數(shù)f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

其中P，M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．給出下列四個(gè)判斷其中正確的序號(hào)為

②④

：
①若P∩M=∅，則f（P）∩f（M）=∅；   
②若P∩M≠∅，則f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M=R，則f（P）∪f(wàn)（M）=R；  
④若P∪M≠R，則f（P）∪f(wàn)（M）≠R．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

，可借助兩個(gè)函數(shù)y=x與y=-x圖象來(lái)研究，分析可得答案．

解答：解：由題意知函數(shù)f（P）、f（M）的圖象如圖所示．
設(shè)P=[x₂，+∞），M=（-∞，x₁]，
∵|x₂|＜|x₁|，f（P）=[f（x₂），+∞），f（M）=[f（x₁），+∞），∴P∩M=∅．
而f（P）∩f（M）=[f（x₁），+∞）≠∅，故①錯(cuò)誤．
同理可知②正確．
設(shè)P=[x₁，+∞），M=（-∞，x₂]，
∵|x₂|＜|x₁|，則P∪M=R．
f（P）=[f（x₁），+∞），f（M）=[f（x₂），+∞），
f（P）∪f(wàn)（M）=[f（x₁），+∞）≠R，故③錯(cuò)誤．
④若P∪M≠R，則f（P）∪f(wàn)（M）≠R．這是不對(duì)的
∵f（x）是函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的值x，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．
∴在x∈P∩M的時(shí)候，x=-x，即x只能為0，
也就是說(shuō)，P和M若有交集，則只能為{0}
若要讓f（x）取到R上每一個(gè)點(diǎn)，就要求定義域在R上不能有遺漏，
∴P∪M≠R時(shí)，必定f（P）∪f(wàn)（M）≠R，故④正確
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)題設(shè)條件的理解與轉(zhuǎn)化能力，借助圖形的直觀來(lái)來(lái)幫助判斷命題的正誤，以形助數(shù)，是解題的關(guān)鍵．