如圖,ABCD是邊長為2的正方形,ED⊥平面ABCD,ED=1,EF∥BD 且2EF=BD.
(Ⅰ)求證:平面EAC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求幾何體ABCDEF的體積.
分析:(Ⅰ)利用面面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)利用條件公式求幾何體的條件.
解答:解:(Ⅰ)∵ED⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴ED⊥AC.…(2分)
∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,…(4分)
∴AC⊥平面BDEF.                       …(6分)
又AC?平面EAC,故平面EAC⊥平面BDEF.
(Ⅱ)連結(jié)FO,∵EF∥DO,且EF=DO,
∴四邊形EFOD是平行四邊形.
由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO,
∴四邊形EFOD是矩形.…(8分)
方法一:∴F0∥ED,
而ED⊥平面ABCD,∴F0⊥平面ABCD.
∵ABCD是邊長為2的正方形,∴OA=OC=
2

由(Ⅰ)知,點A,C到平面BDEF的距離分別是OA,OC,
從而V=VA-EFCD+VC-EFOD+VF-ABC=2VA-EFOD+VF-ABC=2×
1
3
×1×
2
+
1
3
×1×
1
2
×22=2
;
方法二:∵平面EAC⊥平面BDEF.
∴點F到平面ACE的距離等于就是Rt△EFO斜邊EO上的高,
且高h=
EF?FO
OE
=
2
3
=
6
3
.…(10分)
∴幾何體ABCDEF的體積
V=VE-ACD+VF-ACE+VF-ABC=
1
3
?
1
2
?2?2?2+
1
3
?
1
2
?2
2
?
6
3
+
1
3
?
1
2
?2?2?1=2

…(12分)
點評:本題主要考查空間面面垂直的判定以及空間幾何體的體積,要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.

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精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為a的菱形,且∠BAD=60°,△PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD.
(1)求cos<
AB
,
PD
>的值;
(2)若E為AB的中點,F(xiàn)為PD的中點,求|
EF
|的值;
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如圖,ABCD是邊長為2的正方形,面EAD⊥面ABCD,且EA=ED,EF∥AB,且EF=1,O是線段AD的中點,三棱錐F-OBC的體積為
23
,
(1)求證:OF⊥面FBC;
(2)求二面角B-OF-C的余弦值.

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(2012•寧城縣模擬)如圖,ABCD是邊長為1的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求點F到平面BDE的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,ABCD是邊長為2的正方形紙片,沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后點B都落在邊AD上,記為B';折痕與AB交于點E,以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB.若以B為原點,BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如下圖):
(Ⅰ).求點M的軌跡方程;
(Ⅱ).若曲線S是由點M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的,等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1,B1C1,C1D1分別與曲線S切于點P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面積的最小值.

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