證明下列命題.

（1）若函數(shù)f(x)可導且為周期函數(shù)，則f′(x)也為周期函數(shù)；

（2）可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù).

證明：（1）設f(x)的周期為T，則f(x)=f(x+T).

∴f′(x)=［f(x+T)］′=f′(x+T)·(x+T)′=f′(x+T)，即f′(x)為周期函數(shù)且周期與f(x)的周期相同.

（2）∵f(x)為奇函數(shù)，

∴f(-x)=-f(x).

∴［f(-x)］′=［-f(x)］′.

∴f′(-x)·(-x)′=-f′(x).

∴f′(-x)=f′(x),即f′(x)為偶函數(shù).

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為有理數(shù)的點稱為有理點．試根據(jù)這一定義，證明下列命題：若直線y=kx+b（k≠0）經(jīng)過點M（
2
，1），則此直線不能經(jīng)過兩個有理點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閘北區(qū)一模）假設你已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)和反函數(shù)的概念，但還沒有學習過對數(shù)的相關(guān)概念．由指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數(shù)集R上是單調(diào)函數(shù)，可知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數(shù)y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據(jù)上述假設和已知，在不涉及對數(shù)的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數(shù)x1，x2，都有f-1（x1x2）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函數(shù)y=f-1（x）是單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

假設你已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)和反函數(shù)的概念，但還沒有學習過對數(shù)的相關(guān)概念．由指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數(shù)集R上是單調(diào)函數(shù)，可知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數(shù)y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據(jù)上述假設和已知，在不涉及對數(shù)的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數(shù)x1，x2，都有f-1（x1x2）=數(shù)學公式；
（2）函數(shù)y=f-1（x）是單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：閘北區(qū)一模 題型：解答題

假設你已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)和反函數(shù)的概念，但還沒有學習過對數(shù)的相關(guān)概念．由指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數(shù)集R上是單調(diào)函數(shù)，可知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數(shù)y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據(jù)上述假設和已知，在不涉及對數(shù)的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數(shù)x1，x2，都有f-1（x1x2）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函數(shù)y=f-1（x）是單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

假設你已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)和反函數(shù)的概念，但還沒有學習過對數(shù)的相關(guān)概念．由指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數(shù)集R上是單調(diào)函數(shù)，可知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數(shù)y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據(jù)上述假設和已知，在不涉及對數(shù)的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數(shù)x1，x2，都有f-1（x1x2）=；
（2）函數(shù)y=f-1（x）是單調(diào)函數(shù)．

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