已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M=AN=
2
3
a，如圖．
（1）求證：MN∥面BB1C1C；
（2）求MN的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算
專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由于CD⊥平面B1BCC1，所以
DC
是平面B1BCC1的法向量，因此只需證明向量
MN
•
DC
=0，建立空間直角坐標(biāo)系，得到所需向量的坐標(biāo)，通過(guò)數(shù)量積證明MN所在的向量與面BB1C1C的法向量垂直；
（2）由（1）得到
MN
的坐標(biāo)，通過(guò)求其模求MN 的長(zhǎng)度．
解答： 證明：∵正方體棱長(zhǎng)為a，建立D-xyz坐標(biāo)系，如圖，

因?yàn)锳1M=AN=
2
3
a，
∴M（a，
1
3
a，
2
3
a），N（
2
3
a，
1
3
a，0），所以
MN
=（-
1
3
a，0，-
2
3
a），
又∵
DC
=（0，a，0）是平面B1BCC1的法向量，
且
MN
•
DC
=0，
∴
MN
⊥
DC
，
∴MN∥平面B1BCC1．
（2）∵
MN
=（-
1
3
a，0，-
2
3
a），
∴MN=
(-
1
3
a)2+0+(-
2
3
a)2
=
5
3
a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行的判定以及線(xiàn)段長(zhǎng)度，在正方體為載體的幾何證明中，通常建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的運(yùn)算證明線(xiàn)面關(guān)系等．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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化簡(jiǎn)：（tanα+
1
tanα
）cos2α=
 
．

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函數(shù) f（x）=lgx+x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
 
個(gè)．

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若函數(shù)f（x）=
2x+a
2x-a
為奇函數(shù)，求a的值．

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已知ax2-b=0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、b∈{1，2，3，4}，解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

圓ρ=2cosθ被極軸及直線(xiàn)θ=
π
4
(ρ∈R)所截取的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知α、β均為銳角，且cos（α+β）=
12
13
，cos（2α+β）=
3
5
，求cosα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=5，＜
a
，
b
＞=
π
3
，（
a
+
b
）•
a
=
 
．

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