Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂≤2，a₃≤4，a₁+a₄≥4，當(dāng)a₄取得最大值時(shí)，數(shù)列{a_n}的公差為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出不等式組，設(shè)a₁=x，d=y轉(zhuǎn)化線性規(guī)劃問題，畫出可行域和初始直線，再求出a₄最大值和對(duì)應(yīng)的公差的值．

解答： 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
因?yàn)閍₂≤2，a₃≤4，a₁+a₄≥4，所以

a1+d≤2 a1+2d≤4 2a1+3d≥4

，①
設(shè)a₁=x，d=y，則①變?yōu)椋?span id="dhx9ljf" class="MathJye">

x+y≤2 x+2y≤4 2x+3y≥4

，且a₄=a₁+3d=x+3y
畫出可行域如右圖陰影部分所示：
當(dāng)直線y=-

1

3

x+

1

3

a4經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)截距最大，即a₄最大，
由

x+2y=4 2x+3y=4

得，
x=-4，y=4，
此時(shí)a₄=-4+12=8，
此時(shí)a₁=-4，d=4，
所以數(shù)列{a_n}的公差為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，換元法的靈活應(yīng)用，以及線性規(guī)劃問題，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．