【題目】已知集合M={f(x)|f2(x)﹣f2(y)=f(x+y)f(x﹣y),x,y∈R},有下列命題
①若f(x)= ,則f(x)∈M;
②若f(x)=2x,則f(x)∈M;
③f(x)∈M,則y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
④f(x)∈M,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1 , x2(x1≠x2),總有 <0成立;
其中所有正確命題的序號(hào)是 . (寫出所有正確命題的序號(hào))

【答案】②③
【解析】解:①若x=3,y=1,則f2(x)﹣f2(y)=1﹣1=0,f(x+y)f(x﹣y)=f(4)f(2)=1,不滿足集合條件,故f(x)M,故①錯(cuò)誤;
②由f(x)=2x得:f2(x)﹣f2(y)=4x2﹣4y2 , f(x+y)f(x﹣y)=2(x+y)2(x﹣y)=4x2﹣4y2 , 滿足等式,故f(x)∈M,故②正確;
③由題意知,函數(shù)f(x)滿足f2(x)﹣f2(y)=f(x+y)f(x﹣y),令x=y=0得:f(0)=0;再令x=0得:﹣f2(y)=f(y)f(﹣y),即有f(y)[f(y)+f(﹣y)]=0,所以f(y)=0或f(﹣y)=﹣f(y),當(dāng)f(y)=0時(shí),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)f(﹣y)=﹣f(y)時(shí),函數(shù)為奇函數(shù),圖象也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故③正確;④取f(x)=﹣x,因?yàn)閒2(x)﹣f2(y)=x2﹣y2 , f(x+y)f(x﹣y)=﹣(x+y)(y﹣x)=x2﹣y2 , 所以f(x)∈M,而f(x)=﹣x為減函數(shù),故④錯(cuò)誤.
綜上可得:②③正確.
所以答案是:②③.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知 分別是中點(diǎn),弧的半徑分別為,點(diǎn)平分弧,過點(diǎn)作弧的切線分別交于點(diǎn).四邊形為矩形,其中點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在弧上,延長(zhǎng)交于點(diǎn).設(shè),矩形的面積為.

(1)求的解析式并求其定義域;

(2)求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)a是實(shí)數(shù),f(x)=a﹣ (x∈R).
(1)證明不論a為何實(shí)數(shù),f(x)均為增函數(shù);
(2)若f(x)滿足f(﹣x)+f(x)=0,解關(guān)于x的不等式f(x+1)+f(1﹣2x)>0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成的角是(

A.90°
B.60°
C.45°
D.30°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)椋?/span>
A.(﹣1,1]
B.(﹣1,0)∪(0,1]
C.(﹣1,1)
D.(﹣1,0)∪(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】平面上兩點(diǎn)A(﹣1,0),B(1,0),在圓C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4上取一點(diǎn)P,
(Ⅰ)x﹣y+c≥0恒成立,求c的范圍
(Ⅱ)從x+y+1=0上的點(diǎn)向圓引切線,求切線長(zhǎng)的最小值
(Ⅲ)求|PA|2+|PB|2的最值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知曲線,曲線 是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)的直線與都有公共點(diǎn),則稱為“型點(diǎn)”.

(1)證明: 的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)”;

(2)設(shè)直線有公共點(diǎn),求證: ,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是型點(diǎn)”;

(3)求證: 內(nèi)的點(diǎn)都不是型點(diǎn)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司研發(fā)出一款產(chǎn)品,批量生產(chǎn)前先在某城市銷售30天進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查.調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn):日銷量與天數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系服從圖①所示的函數(shù)關(guān)系:每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)與天數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系服從圖②所示的函數(shù)關(guān)系.圖①由拋物線的一部分(為拋物線頂點(diǎn))和線段組成.

(Ⅰ)設(shè)該產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn) ,分別求出 , 的解析式,

(Ⅱ)若在30天的銷售中,日銷售利潤(rùn)至少有一天超過8500元,則可以投入批量生產(chǎn),該產(chǎn)品是否可以投入批量生產(chǎn),請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4.
(Ⅰ)從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球,求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率;
(Ⅱ)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為m,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為n,求n<m+2的概率.

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