Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為 ，左準(zhǔn)線 l與x軸的交點(diǎn)為M，，P為橢圓C上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與 A₁，A₂均不重合，設(shè)直線 PA₁與 PA₂的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題得，設(shè)所求橢圓方程為；
則有
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），，，則，即，
則，，
即，
∴k₁•k₂為定值．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），其中．
由已知及點(diǎn)P在橢圓C上可得，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中．
①當(dāng)時，化簡得y²=6，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當(dāng)時，方程變形為，其中．
當(dāng)時，M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足的部分；
當(dāng)時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓滿足的部分；
當(dāng)λ≥1時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 ，半焦距為c，由題意能夠?qū)С鯽，b，c，寫出橢圓方程即可；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），分別求出k₁，k₂的表達(dá)式，再求得k₁•k₂為定值即可；
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），先由已知及點(diǎn)P在橢圓C上可得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，下面對λ的值進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，其中再分成三類：一類是：當(dāng)時，另一類是：當(dāng)時，最后一類是：當(dāng)λ≥1時，分別說明軌跡是什么曲線即得．
點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．