Question

12．方程$\frac{2+\sqrt{2}sinx}{2cosx+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}cosx+2}{2sinx+\sqrt{2}}$的解是{x|x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 把原方程化為（sinx-cosx）[3+$\sqrt{2}$（sinx+cosx）]=0，求出sinx-cosx=0和sinx+cosx=-$\frac{3}{\sqrt{2}}$的解，并檢驗(yàn)是否為原方程的解即可．

解答 解：方程$\frac{2+\sqrt{2}sinx}{2cosx+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}cosx+2}{2sinx+\sqrt{2}}$可化為：
（2+$\sqrt{2}$sinx）（2sinx+$\sqrt{2}$）=（2cosx+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2}$cosx+2），
即（sinx-cosx）[3+$\sqrt{2}$（sinx+cosx）]=0，
解得sinx-cosx=0①，
或sinx+cosx=-$\frac{3}{\sqrt{2}}$②；
由①得，x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
經(jīng)驗(yàn)證，x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z是原方程的解；
由②得，sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{2}$＜-1，此時(shí)無(wú)解；
綜上，原方程的解為{x|x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z}．
故答案為：{x|x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解分式方程的應(yīng)用問題，也考查了解三角函數(shù)的方程問題，是基礎(chǔ)題目．