Question

       已知圓O：x²＋y²＝1，圓C：（x－4）²＋（y－4）²＝1，由兩圓外一點(diǎn)P（a,b）引兩圓切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，如圖，滿(mǎn)足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線(xiàn)方程l：x＋y－4=0，該直線(xiàn)叫做這兩圓的“根軸”，試證點(diǎn)P落在根軸上；

       （Ⅱ）求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值；

（Ⅲ）給出定點(diǎn)M（0,2），設(shè)P、Q分別為直線(xiàn)l和圓O上動(dòng)點(diǎn)，求|MP|＋|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

⑴

       即點(diǎn)P（a,b）落在根軸l：x＋y－4=0上；    ……………………  3分

    ⑵

    ∴當(dāng)a=2時(shí)即P為（2,2）點(diǎn)時(shí)有    …………………  6分

⑶ 作M（0,2）關(guān)于直線(xiàn)L: x＋y=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,求得N（2,4），連接NO則NO分別與直線(xiàn)L、圓O的交點(diǎn)即為使|PM|＋|PQ|的值最小的點(diǎn)P、Q； …………………  8分

       證明如下：

       在L上任取不同于點(diǎn)P的P₁點(diǎn)，

       連接P₁O交圓O于Q₁，則

       |P₁M|＋|P₁Q₁|=|P₁M|＋|P₁O|-1=|P₁N|＋|P₁O|-1＞|NO|-1

       而|PM|＋|PQ|=|PM|＋|PO|-1=|PN|＋|PO|-1=|NO|-1 ,

       故得證；  …………… 11分

       下求|PM|＋|PQ|的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)：

       （|PM|＋|PQ|）_Min=|NO|-1=

       聯(lián)立ON與直線(xiàn)L的方程可得 …… 13分