Question

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由橢圓過點(diǎn)，且離心率為，列出方程組，解方程組，即可求得橢圓的方程；（2）法一：先討論斜率為零時(shí)，再討論斜率不為零時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得，即可判斷點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外；法二：先討論斜率為零時(shí)，再討論斜率不為零時(shí)，設(shè)直線方程，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，則為銳角，即可判斷點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．

試題解析：（1）橢圓E：過點(diǎn)，且離心率為

，

即，

橢圓的方程.

（2）法一：當(dāng)的斜率為時(shí)，顯然G與以線段AB為直徑的圓的外面，

當(dāng)的斜率不為時(shí)，設(shè)的方程為：，點(diǎn)AB中點(diǎn)為．

由得，

所以

從而.

所以.

，

故，

所以，故G在以AB為直徑的圓外．

法二：當(dāng)的斜率為時(shí)，顯然G與以線段AB為直徑的圓的外面，

當(dāng)的斜率不為時(shí)，設(shè)的方程為：，設(shè)點(diǎn)，

則，

由得，

.

，

又不共線，所以為銳角，

故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．