Question

10．已知橢圓的焦點在x軸上，中心在坐標(biāo)原點，以右焦點F₂為圓心，過另一焦點F₁的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長之比2：1，P（$\sqrt{2}$，1）為此平面上一定點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1．求橢圓的方程．

Answer 1

分析 利用以右焦點F₂為圓心，過另一焦點F₁的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長之比2：1，得劣弧所對的圓心角為120°，從而右焦點到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=c，可得a，c的關(guān)系，利用P（$\sqrt{2}$，1）為此平面上一定點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1，根據(jù)向量的數(shù)量積運算，求出c，可得a，b，即可求出橢圓的方程．

解答 解：∵以右焦點F₂為圓心，過另一焦點F₁的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長之比2：1，
∴劣弧所對的圓心角為120°，
∴右焦點到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=c，
∴a=$\sqrt{2}$c．
∵P（$\sqrt{2}$，1）為此平面上一定點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1，
∴（-c-$\sqrt{2}$，-1）•（c-$\sqrt{2}$，-1）=1，
∴2-c²=0，
∴c=$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．