Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x+1．
（1）求f（x）的極大值；
（2）若f（x）在[k，2]上的最大值為28，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知條件知f（x）的定義域為R，f'（x）=3x²+6x-9，令f'（x）=3x²+6x-9＞0，得x＞1或x＜-3，列表討論能求出f（x）的極大值．
（2）由（1）知f（x）在[1，2]為增函數(shù)，在[-3，1]為減函數(shù)，（-∞，-3）為增函數(shù)，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+3x²-9x+1，
∴f（x）的定義域為R，f'（x）=3x²+6x-9，
令f'（x）=3x²+6x-9＞0，得x＞1或x＜-3，
列表討論：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增↗	28	單調(diào)遞減↘	-4	單調(diào)遞增↗

∴當x=-3時，f（x）有極大值f（-3）=28．（5分）
（2）由（1）知f（x）在[1，2]為增函數(shù)，
在[-3，1]為減函數(shù)，（-∞，-3）為增函數(shù)，
且f（2）=3，f（-3）=28，（8分）
∵f（x）在[k，2]上的最大值為28，
∴所求k的取值范圍為k≤-3，即k∈（-∞，-3]．（10分）

點評：本題考查函數(shù)的極大值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．