解法一(1)證明:∵ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,
且PA=AD=2,∴AD⊥AB,AD⊥PA
又AB∩PA=A,∴AD⊥面PAB.…(1分)
∵E、F分別是線段PA、PD的中點(diǎn),
∴EF/AD,∴EF⊥面PAB.…(2分)
又EF?面EFG,∴面EFG⊥面PAB.…(3分)
(2)解:取BC的中點(diǎn)M,連接GM、AM、EM,則GM∥BD,
∴∠EGM(或其補(bǔ)角)就是異面直線EG與BD所成的角.(4分)
在Rt△MAE中,
,
同理
,…(5分)
又
,∴在△MGE中,
…(6分)
故異面直線EG與BD所成的角為arccos
,…(7分)
(3)解:取AB中點(diǎn)H,連接GH,HE,則GH∥AD∥EF,
∴E、F、G、H四點(diǎn)共面,過點(diǎn)A作AT⊥HE于T,
∵面EFGH⊥面PAB,∴AT⊥平面EFGH,…(9分)
∴AT就是點(diǎn)A到平面EFG的距離.…(10分)
在Rt△AEH中,AE=AH=1,
∴
,
故點(diǎn)A到平面EFG的距離為
.…(12分)
解法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),G(1,2,0).
(1)證明:∵
=(0,1,0),
=(0,0,2),
=(2,0,0),
∴
•
=0×0+1×0+0×2=0,
•
=0×2+1×0+0×0=0,
∴EF⊥AP,EF⊥AB.…(1分)
又∵AP、AB?面PAB,且PA∩AB=A,
∴EF⊥平面PAB.…(2分)
又EF?面EFG,∴平面EFG⊥平面PAB.…(3分)
(2)解:∵
,…(4分)
∴
,…(6分)
故異面直線EG與BD所成的角為arcos
.…(7分)
(3)解:設(shè)平面EFC的法向量
=(x,y,z),…(8分)
則
…(10分)
令z=0,得
=(1,0,1).…(11分)
又
=(0,0,1),∴點(diǎn)A到平面EFG的距離
.…(12分)
分析:解法一(1)由已知中ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,可得AD⊥AB,AD⊥PA,進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到AD⊥面PAB,結(jié)合E、F分別是線段PA、PD的中點(diǎn)及三角形中位線定理可得EF/AD,結(jié)合線面垂直的第二判定定理可得EF⊥面PAB,再由面面垂直的判定定理得到面EFG⊥面PAB;
(2)取BC的中點(diǎn)M,連接GM、AM、EM,由異面直線夾角的定義可得∠EGM(或其補(bǔ)角)就是異面直線EG與BD所成的角,解△MAE可得答案.
(3)取AB中點(diǎn)H,連接GH,HE,過點(diǎn)A作AT⊥HE于T,則AT就是點(diǎn)A到平面EFG的距離,解Rt△AEH,即可得到點(diǎn)A到面EFG的距離.
解法二:(1)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,分別求出向量
,
,
的坐標(biāo),根據(jù)兩個(gè)向量數(shù)量積為0,向量垂直,易判斷出EF⊥AP,EF⊥AB,結(jié)合線面垂直的判定定理得到答案.
(2)分別求出向量
,
的方向向量,代入向量夾角公式,即可得到答案.
(3)求出平面EFC的法向量
,及向量
的坐標(biāo),代入點(diǎn)A到平面EFG的距離公式
,可得答案.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量語言表述直線的垂直關(guān)系,點(diǎn)到平面的距離運(yùn)算,用空間向量求直線間的夾角,其中解法一(幾何法)的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面關(guān)系的判定、性質(zhì)及相互轉(zhuǎn)換;解法二(向量法)的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,將空間線面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.