Question

（2013•廣東）設(shè)

a

是已知的平面向量且

a

≠

0

，關(guān)于向量

a

的分解，有如下四個(gè)命題：
①給定向量

b

，總存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

；
②給定向量

b

和

c

，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
③給定單位向量

b

和正數(shù)μ，總存在單位向量

c

和實(shí)數(shù)λ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量

b

和單位向量

c

，使

a

=λ

b

+μ

c

；
上述命題中的向量

b

，

c

和

a

在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：選項(xiàng)①由向量加減的幾何意義可得；選項(xiàng)②③均可由平面向量基本定理判斷其正確性；選項(xiàng)④λ和μ為正數(shù)，這就使得向量

a

不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來．

解答：解：選項(xiàng)①，給定向量

a

和

b

，只需求得其向量差

a

-

b

即為所求的向量

c

，
故總存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

，故①正確；
選項(xiàng)②，當(dāng)向量

b

，

c

和

a

在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量

b

，

c

可作基底，
由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故可知②正確；
選項(xiàng)③，由題意必有λ

b

和μ

c

表示不共線且長度不定的向量，
由于μ為正數(shù)，故λ

b

+μ

c

不能把向量任意

a

表示出來，故③錯(cuò)誤；
選項(xiàng)④，因?yàn)棣撕挺虨檎龜?shù)，所以λ

b

和μ

c

代表與原向量同向的且有固定長度的向量，
這就使得向量

a

不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來，
故不一定能使

a

=λ

b

+μ

c

成立，故④錯(cuò)誤．
故選B

點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及平面向量基本定理及其意義，屬基礎(chǔ)題．