Question

4．若點F₁，F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右兩個焦點，過點F₂垂直x軸的直線交雙曲線及雙曲線的漸近線依次為A₁，B₁，B₂，A₂（從上到下），且$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=4$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$，則雙曲線的漸進線方程為y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．

Answer 1

分析 設左右焦點分別為（-c，0），（c，0），令x=c，代入雙曲線的方程可得|B₁B₂|=$\frac{2^{2}}{a}$，求出漸近線方程，代入x=c，可得
|A₁A₂|=$\frac{2bc}{a}$，再由$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=4$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$，化簡整理，可得a，b的關系，進而得到漸近線方程．

解答 解：點F₁，F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，設為（-c，0），（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有|B₁B₂|=$\frac{2^{2}}{a}$，
由漸近線方程y=±$\frac{a}$x，令x=c，可得y=±$\frac{bc}{a}$，
可得|A₁A₂|=$\frac{2bc}{a}$，
由$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=4$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$，可得$\frac{2bc}{a}$=4•$\frac{2^{2}}{a}$，
即有c=4b，a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{15}$b，
則漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用聯立方程組，求交點，考查向量共線的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．