Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，
△MF₁F₂為等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，在直線y=-

1

2

上是否存在點(diǎn)N，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出c=1，a=2c=2，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）在直線y=-

1

2

上不存在點(diǎn)N，使得四邊形OANB為矩形．設(shè)直線l的方程為y=kx-2，k≠0，聯(lián)立

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-16kx+4=0，由△＞0，得k²＞

1

4

，由韋達(dá)定理得

OA

•

OB

≠0，由此得直線y=-

1

2

上是不存在點(diǎn)N，使得四邊形OANB為矩形

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，△MF₁F₂為等邊三角形，
∴c=1，a=2c=2，∴b²=4-1=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）在直線y=-

1

2

上不存在點(diǎn)N，使得四邊形OANB為矩形．
理由如下：
∵過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=0，A（0，

3

），B（0，-

3

），
在直線y=-

1

2

上不存在點(diǎn)N，使得四邊形OANB為矩形．
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，l的方程為y=-2，不成立，
∴設(shè)直線l的方程為y=kx-2，k≠0，
聯(lián)立

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-16kx+4=0，
△=（-16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k²＞

1

4

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）•

4

3+4k2

-2k•

16k

3+4k2

+4=

4-24k2

3+4k2

，
∵k2＞

1

4

，∴

OA

•

OB

≠0，
∴直線y=-

1

2

上是不存在點(diǎn)N，使得四邊形OANB為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．