Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-|x²-ax-2|，a為實數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最小值和最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，求出函數(shù)f（x）的表達式，結合圖象即可求出函數(shù)在[0，3]上的最小值和最大值；
（Ⅱ）將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，結合一元二次函數(shù)單調性的性質和關系建立不等式進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+2，x＜-1或x＞2\\ 2{x^2}-x-2，-1≤x≤2\end{array}\right.$…（3分
結合圖象可知f（x）在$[0，\frac{1}{4}]$上單調遞減，在$[\frac{1}{4}，3]$上單調遞增，…（5分），
f（x）在[0，3]上的最小值為$f（\frac{1}{4}）=-\frac{17}{8}$，…（6分）
f（x）在[0，3]上的最大值為f（3）=5．…（7分）
（Ⅱ）令x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0，…（8分）
必有兩根${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，${x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$…（9分）
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ax+2，x＜{x_1}或x＞{x_2}\\ 2{x^2}-ax-2，{x_1}≤x≤{x_2}\end{array}\right.$…（11分）
若函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上單調遞增，
則必有a＞0且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}≥-1}\\{\frac{a}{4}≤2}\end{array}\right.$，解得：1≤a≤8…（15分）

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，利用分段函數(shù)的圖象和性質結合一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．