Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）若 = ，求證： ≤ + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}滿足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，∴ = ，

∴an= … =3n﹣1 … ×3=n3n

（2）解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3+2×32+3×33+…+n3n，

3Sn=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1，

∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1，

∴Sn= ×3n+1+

（3）證明： = ，∴ = = = ﹣ ．

∴ + +…+ =

+ +…+ =1﹣ ∈ ．

∴ ≤ + +…+ ＜1

【解析】（1）數(shù)列{an}滿足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，可得 = ，利用“累乘求積”方法即可得出．（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．（3） = ，可得 = = = ﹣ ．利用“裂項(xiàng)求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．