Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)F₂斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，△EFF₁的周長為8，且橢圓C與圓x²+y²=3相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=4于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF₂的斜率為k′，求證k•k′為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出4a=8，方程組

x2+y2=3 x2 4 + y2 b2 =1

只有一組解，利用根的判別式求出b2 =3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1），設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），點(diǎn)F（x₂，y₂），將直線l方程y=k（x-1）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用已知條件推導(dǎo)出直線PF₂的斜率為k′=-

1

k

，從而能夠證明k•k′為定值．

解答： （Ⅰ）解：∵過橢圓右焦點(diǎn)F₂斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，
△EFF₁的周長為8，且橢圓C與圓x²+y²=3相切，
∴4a=8，解得a=2，
∴方程組

x2+y2=3 x2 4 + y2 b2 =1

只有一組解，即方程（b²-4）x²+12-4b²=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=0-4（b²-4）（12-4b²）=0，
解得b2 =3或b²=4（舍），
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)過點(diǎn)F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1），
設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），點(diǎn)F（x₂，y₂）…5分
將直線l方程y=k（x-1）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，
整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…6分
∵點(diǎn)F₂在橢圓內(nèi)，∴直線l和橢圓都相交，△＞0恒成立，
且x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，…7分
直線AE的方程為：y=

y1

x1-2

(x-2)，直線AF的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得點(diǎn)M（4，2

y1

x1-2

），N（4，

y2

x2-2

2），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（4，（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）），…9分
直線PF₂的斜率為k′=

( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

4-1

=

1

3

（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）
=

1

3

•

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

3

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

，…11分
將x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

代入上式得：
k′=

1

3

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2• 8k2 4k2+3 +4

=-

1

k

，
∴k•k′ =-1，，∴k•k′為定值．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．