已知數(shù)列{a
n}中,a
1=1,
a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{n
2a
n}的前n項(xiàng)和T
n.
分析:(Ⅰ)由a
1=1,
a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).知
=,a
2=1,所以a
n+1=
a2×××…×=1×
(3×)×
(3×)×
…×(3×)=
3n-1×,由此能求出
an=.
(Ⅱ)由
an=.知n
2a
n=
,所以T
n=1+4×3
0+6×3+8×3
2+…+2n•3
n-2,再由錯(cuò)位相減法能求出T
n.
解答:解:(Ⅰ)∵a
1=1,
a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).
∴
a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an,
∴na
n=
an+1-an,
∴
=,
在a
1=1,
a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),
取n=1,得a
2=1,
∴a
n+1=
a2×××…×=1×
(3×)×
(3×)×
…×(3×)=
3n-1×,
∴
an=.
(Ⅱ)∵
an=.
∴n
2a
n=
,
∴T
n=1+4×3
0+6×3+8×3
2+…+2n•3
n-2,①
3T
n=3+4×3+6×3
2+8×3
3+…+2(n-1)•3
n-2+2n•3
n-1,②
①-②,得-2T
n=-2+4+2×(3+3
2+3
3+…+3
n-2)-2n×3
n-1=2+2×
-2n×3
n-1=2+3
n-1-3-2n×3
n-1=3
n-1-1-2n×3
n-1∴T
n=
+n×3
n-1-
.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法、累乘法和錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}中,
a1=1,an+1-an=(n∈N*),則
an=
.
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n}中,a
1=1,a
n+1=
,則{a
n}的通項(xiàng)公式a
n=
.
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n}中,a
1=1,
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(1)求數(shù)列{a
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(2)求數(shù)列
{}的前n項(xiàng)和T
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題型:
已知數(shù)列
{an}中,a1=,Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且S
n與
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*),則
Sn=
1
1
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
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